Напів
& Визначено: нехай A — симетрична матриця. Ми так говоримо A є (позитивним) напіввизначеним, і пишіть A 0, якщо всі власні значення A є
. Ми говоримо, що A є (позитивно) визначеним, і пишемо A 0, якщо всі власні значення A додатні.
Нехай A — симетрична матриця, а Q(x) = xT Ax — відповідна квадратична форма. визначення. Q і A називаються додатними напіввизначеними, якщо Q(x) ≥ 0 для всіх x. Вони називаються позитивно визначеними, якщо Q(x) > 0 для всіх x 6= 0.
F(x) є позитивно напіввизначеним тоді і тільки тоді, коли всі власні значення A є невід’ємними; тобто λi≥0, i=1 до n (зауважте, що принаймні одне власне значення має дорівнювати нулю, щоб воно називалося додатним напіввизначеним). 3. F(x) є негативно визначеним тоді і тільки тоді, коли всі власні значення A є строго негативними; тобто λi<0, i=1 до n.
Матриця M називається позитивно напіввизначеною, якщо вона симетрична і усі його власні значення є невід’ємними. Якщо всі власні значення строго позитивні, то це називається позитивно визначеною матрицею. У багатьох джерелах ви можете знайти інше визначення позитивної напіввизначеності.
Квадратна матриця називається позитивно визначеною, якщо вона симетрична і всі її власні значення λ додатні, тобто λ > 0.. Оскільки ці матриці є симетричними, теорема про головні осі відіграє центральну роль у теорії. Якщо A позитивно визначений, то він оборотний і det A > 0.
Ми говоримо, що A є позитивно напіввизначеним, якщо для будь-якого вектора x з дійсними компонентами скалярний добуток Ax на x невід’ємний, (Ax, x) ≥ 0. . Дійсно, (Ax, x) = ‖Ax‖ ‖x‖ cosθ, отже, cosθ ≥ 0.