Операція модуля (скорочено «mod», або «%» у багатьох мовах програмування) є остача при діленні. Наприклад, «5 mod 3 = 2», що означає, що 2 є залишком від ділення 5 на 3.
Пояснення: 4 за модулем 2 дорівнює 0, оскільки 4/2 = 2 із залишком 0. Щоб знайти 4 за модулем 2 за допомогою методу модуля, ми спочатку знаходимо найбільше можливе кратне дільника 2, яке дорівнює або менше ніж ділене 4. Потім, ми віднімаємо найбільше кратне від діленого, щоб отримати відповідь на 4 mod 2.
p≡3(mod4) означає, що p=4k+3 для деякого k, або іншими словами, що залишок від ділення p на 4 дорівнює 3. Зауважте, що якщо ви візьмете непарне число та поділите його на 4, ви отримаєте 1 або 3 як залишок, оскільки якщо ви отримали 0 або 2 як залишок, то вихідне число повинно було бути парним.
Пояснення: 1 mod 3 дорівнює 1, оскільки 1/3 = 0 із залишком 1.
Модуль визначається як значення залишку при діленні двох чисел. Математичне представлення функції за модулем подано як a mod b, де a і b — два числа. Коли 16 поділити на 3, отримана частка дорівнює 5, а залишок 1. Отже, 16 за модулем 3 дорівнює 1.
Модульна арифметика стосується лише цілочисельного ділення, тому тут ми просто напишемо 5=0×7+5., тож залишок дорівнює 5. 5/7 не має залишку одиниці. 7 додається до 5 помножених на нуль із залишком 5.
Ця теорема називається алгоритмом ділення, а % b визначається як це r. У вашому випадку 3=0⋅5+3 і 0≤3<5, отже відповідь 3. Оскільки 3−3=0 ділиться на 5, маємо 3≡3(mod5).