Прямий метод Ляпунова (для локальної стійкості) Якщо додатково маємо V ˙ ( x ) = ∂ V ∂ x f ( x ) < 0 , ∀ x ∈ D ∖ { 0 } , то початок координат є (локально) асимптотично стійким. І якщо ми маємо V ˙ ( x ) = ∂ V ∂ x f ( x ) ≤ − α V ( x ) , ∀ x ∈ D ∖ { 0 }, для деяких випадків початок координат є (локально) експоненціально стабільним.22 червня 2024 р.
Критерій стійкості Ляпунова був розроблений А. М. Ляпуновим в 1892 році і через його назву цей критерій відомий як критерій стійкості Ляпунова. Цей критерій є на основі поняття енергії, якщо загальна енергія системи розсіюється, то система завжди стабільна.
22.1. Лінійна динамічна система – це динамічна система з дискретним часом x(t + 1) = Ax(t) або динамічна система з безперервним часом x0(t) = Ax(t). Його називають асимптотично стійким якщо для всіх початкових умов x(0) орбіта x(t) сходиться до початку координат 0 при t → ∞.
Теорія стійкості Ляпунова розглядає збурення початкового стану x ( 0 ) = 0, тобто початку координат простору станів, і досліджує, чи збігаються розв’язки x ˙ = f ( x , 0 ) до початку координат.
Розв’язаний приклад функцій Ляпунова Тут обчислюється повна похідна функції V(x, y). dV/dt = -16[(x/2) – y]2 < 0. Таким чином, для даної системи існує функція Ляпунова з негативною похідною скрізь, крім початку координат. У результаті нульовий розв’язок системи є асимптотично стійким.
Діаграму Боде можна використовувати для визначення стабільності системи за двома критеріями: запас посилення та запас фази. Запас підсилення — це величина зменшення підсилення, необхідна для того, щоб зробити систему нестабільною, і вимірюється величиною L(s) на частоті, де фаза L(s) становить -180 градусів.
Критерій Рауса Гурвіца стверджує, що будь-яка система може бути стабільною тоді і тільки тоді, коли всі корені першого стовпця мають однаковий знак, а якщо він не має однакового знаку або є зміна знаку, то кількість змін знака в першому стовпці дорівнює числу коренів характеристичного рівняння справа …