Теорема Біркгофа У будь-якому частковому порядку нижчі множини утворюють решітку, в якій часткове впорядкування решітки задано включенням множини, операція з’єднання відповідає об’єднанню множини, а операція зустрічі відповідає перетину множини, оскільки об’єднання та перетини зберігають властивість будучи нижчим набором.
Теорема транзитивності Біркгофа стверджує, що якщо X є другим зліченним, повним метричним простором, то топологічна транзитивність означає, що в X існує щільний набір точок із щільною орбітою. У теоремі 2.5 тут доводиться, що ∪∞m=1ϕ−m(Uk) є щільним через топологічну транзитивність.
Теорема представлення Біркгофа для скінченних дистрибутивних решіток стверджує, що будь-яка кінцева дистрибутивна решітка ізоморфна решітці порядкових ідеалів (нижчих множин) часткового порядку незвідних елементів решітки.
Теорема 2 (фундаментальна теорема для кінцевих розподільних ґраток) Кожна скінченна розподільна решітка має форму J(P ) для деякого множини P . Зокрема, P → J(P ) є біекцією між скінченними множинами та скінченними законами розподілу. Основний ескіз доведення.
Є дві версії цієї теореми: ергодична теорема фон Неймана дає збіжність у середньому; Ергодична теорема Біркгофа дає поточкову збіжність. Тут немає нічого оригінального, але прямий доступ до повного доказу, який може бути корисним нефахівцям у цій темі.