В алгебрі гомоморфізм – це відображення, що зберігає структуру, між двома алгебраїчними структурами одного типу (наприклад, дві групи, два кільця або два векторних простори). Слово гомоморфізм походить із давньогрецької мови: ὁμός (homos), що означає «однаковий» і μορφή (morphe), що означає «форма» або «форма».
Приклад 2.1. Для кожного дійсного числа c формула c(x + y) = cx + cy для всіх x і y в R говорить про те, що функція Mc : R → R, де Mc(x) = cx, є гомоморфізмом. Приклад 2.2. Для всіх дійсних чисел x і y |xy| = |x||y|.
У гомоморфізмі відповідні елементи двох систем поводяться дуже подібно в комбінації з іншими відповідними елементами. Наприклад, нехай G і H — групи. Елементи G позначаються g, g′,…, і вони підлягають певній операції ⊕.
Нехай G і H — групи, а ϕ:G→H. Тоді ϕ є гомоморфізмом якщо ϕ(gh)=ϕ(g)ϕ(h). Якщо гомоморфізм також є біекцією, то він називається ізоморфізмом.
«Гомоморфізм» походить від грецького homo (однаковий) і morphus (форма або форма). Отже, це "гомоморфізм". карта, яка «зберігає форму» або «зберігає структуру». Якщо ви працюєте з групами, вам потрібно, щоб f:G→H зберігало групову структуру: ідентичність, інверсії та продукти.
Загалом, гомоморфізм — це функція між структурованими множинами, яка зберігає будь-яку існуючу структуру. Навіть загальніше, «гомоморфізм» є лише синонімом для «морфізм' у будь-якій категорії, структуровані набори узагальнюються на довільні об'єкти.