Однотонний
. Нехай f : Ω → R, де Ω має
F і R має
σ-поле B = σ({(−∞,b),b ∈ R}), тоді f є вимірним, якщо f−1((−∞,b)) є вимірним для всіх b ∈ R. Мати справу з R складніше . Зверніть увагу, якщо f : Ω → R, де R є R ∪ {∞} ∪ {−∞}, тоді f−1({∞}) = ∩n{ω : f(ω) > n}.
Означення 1. ( [ 2] ) Розширена дійсна функція множини μ:A→ˉR+ називається монотонною мірою, визначеною на (X,A), якщо μ задовольняє наступним двом умовам: 1) μ(∅)=0 і μ(X)>0 ; (звертається до нуля при ∅ ) 2) ∀P,Q∈A , P⊂Q означає µ(P)≤µ(Q) . (монотонність)
Монотонною функцією є функція, яка завжди зростає або завжди спадає у своїй області визначення. Щоб перевірити, чи є функція монотонною, знайдіть її похідну та подивіться, чи є вона більшою або дорівнює нулю (монотонно зростаюча) чи менша або дорівнює нулю (монотонно спадає).
1 Відповідь. Мінімум із двох вимірних функцій справді є вимірним. Дійсно, якщо f,g:X→R є вимірними, то (f,g):X→R2 є вимірними, і тоді min(f,g) є просто композицією (f,g) з неперервною функцією R2→ R доведення пари чисел до мінімуму.
Щоб довести, що дійсна функція вимірна, достатньо лише одного показати, що {ω : f(ω) < a}∈F для всіх a ∈ D. Так само ми можемо замінити < a на > a або ≤ a або ≥ a.
Ця функція є монотонно зростаючою функцією, але не є неперервною на x=o. Отже, крім x=o. функція неперервна при всіх додатних дійсних значеннях x. Отже монотонна функція не обов'язково передбачає безперервність.